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OMC087 (Mathpedia杯)

OMC087(B) - 正三角形との対応

ユーザー解説 by HighSpeed

　公式解説と同様，300300 を一般に 3N3N とおく．タイル全体の大きな正三角形と同じ向きで，あるタイルの頂点にあたる点 33 つを頂点にもつ正三角形について，一辺の長さが 33 の倍数ではないときは正六角形は内接せず，一辺の長さが 3n (n=1,…,N)3n\ (n = 1, \ldots, N) であるとき，仮定の正六角形は nn 個内接する（内接する一辺 nn の正六角形と，それに内接する正六角形を考えると良い）．このように，この正三角形すべてについて，対応する正六角形を考えれば，仮定の正六角形は過不足なく現れる．この正三角形の個数は，一辺 3n3n のとき 1+⋯+(3N−3n+1)=(3N−3n+1)(3N−3n+2)2 1 + \cdots + (3N - 3n + 1) = \frac{\left(3N - 3n + 1\right) \left(3N - 3n + 2\right)}2 であるから，求める個数は ∑n=1Nn(3N−3n+1)(3N−3n+2)2=∑n=1N9n(N−n)(N−n+1)+2n2=9∑n=1N−1nC1N−n+1C2+∑n=1Nn=9N+2C4+N(N+1)2=N(N+1)(3N2+3N−2)8=38251225.\begin{aligned} \sum_{n=1}^N \frac{n \left(3N - 3n + 1\right) \left(3N - 3n + 2\right)}2 &= \sum_{n=1}^N \frac{9n \left(N - n\right) \left(N - n + 1\right) + 2n}2 \\ &= 9\sum_{n=1}^{N-1} \mathinner{{}_n\mathrm C_1} \mathinner{{}_{N-n+1}\mathrm C_2} + \sum_{n=1}^N n \\ &= 9\mathinner{{}_{N+2}\mathrm C_4} + \frac{N \left(N + 1\right)}2 \\ &= \frac{N \left(N + 1\right) \left(3N^2 + 3N - 2\right)}8 \\ &= \mathbf{38251225}. \end{aligned}