OMC087(B)

　いまタイル張りが無限に続いているとして，あるタイルの頂点にあたる点を良い点と呼ぶこととする．
　$2$ 頂点が良い点である正三角形について，もう $1$ 頂点も良い点であることがわかるから，ある正六角形の頂点が全て良い点であるとき，その中心も良い点である．
　逆に，中心と $1$ 頂点を良い点に定めたとき，残りの $5$ 頂点が良い点であるような正六角形が定まる．
　一般に $300$ を $3N$ とし，一辺 $3N$ の正三角形の $3$ 頂点を $A,B,C$ とする．良い点 $P$ について，$P$ を通り $CA$ に平行な直線と線分 $AB$ の交点を $X_P$ とし，同様に $Y_P,Z_P$ を定める．このとき，点 $P$ を中心とする良い点からなる正六角形の個数は，一辺が $\min(PX_P, PY_P, PZ_P)$ の正三角形から $1$ 頂点を選ぶ方法に対応するから， $$\frac{1}{2}\min(PX_P, PY_P, PZ_P)(\min(PX_P, PY_P, PZ_P) + 1)$$ で表せる．$P$ によらず $PX_P + PY_P + PZ_P = 3N$ であることに留意して，求める答えは $$\begin{aligned} &~~~~\frac{1}{2}\sum_{a + b + c = 3N}\min(a,b,c)(\min(a,b,c) + 1) \\ &= \frac{1}{2} \left( 3\sum_{k = 0}^{N-1}k(k+1)(3N - 3k) + N(N + 1) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left(\frac{3}{4}(N-1)N(N+1)(N+2) + N(N+1) \right) \\ &= \frac{1}{8}N(N+1)(3N^2+3N-2) \\ &= \bf{38251225} \end{aligned}$$