OMC084(D)

点数: 300

Writer: ojamesi1357

　$a\gt b$ なる正の実数について, 直交座標平面内に点 $P:(a^2,b^2)$ および $Q:(b^2,a^2)$ があります. また $P$ を中心とする半径 $a\sqrt{ab}$ の円を $C_1$, $Q$ を中心とする半径 $b\sqrt{ab}$ の円を $C_2$ とします.
　いま, $C_1$ と $C_2$ は相異なる $2$ 点 $A,B$ で交わっており, 直線 $AB$ と直線 $PQ$ の交点は $\left(2,\dfrac{53}{16}\right)$ でした. このとき, $a,b$ はそれぞれ既約分数として $\dfrac{p}{q},\dfrac{r}{s}$ と表されるので (ただし $p,q,r,s$ は正整数), $pqrs$ を求めてください.