OMC083(E) - 確率論

※ $\mathrm P,\, \mathrm E,\, \mathrm V$ はそれぞれ確率，期待値，分散を表す．

　$3123$ を一般に $n$ とおく．各 $i$ に対し確率変数 $X_i$ を，それぞれ独立に $$\mathrm P[X_i = 4] = \mathrm P[X_i = 8] = \frac12$$ となるように定め，また $X$ を $$X := \sum_{i=0}^{n-1} 10^i\, X_i$$ で定める．このとき $$M = \mathrm E\mathopen{}\left[X^2\right] = \mathrm V[X] + \mathrm E[X]^2$$ となるが，各 $X_i$ が独立であることから $$\mathrm V[X] = \mathrm V\mathopen{}\left[\sum_{i=0}^{n-1} 10^i\, X_i\right] = \sum_{i=0}^{n-1} \mathrm V\mathopen{}\left[10^i\, X_i\right] = \sum_{i=0}^{n-1} 10^{2i}\, \mathrm V\mathopen{}\left[X_i\right] = 4\sum_{i=0}^{n-1} 10^{2i} = \frac4{99} \times \left(10^{2n} - 1\right)\mathclose{},$$ また $$\mathrm E[X] = \mathrm E\mathopen{}\left[\sum_{i=0}^{n-1} 10^i\, X_i\right] = \sum_{i=0}^{n-1} 10^i\, \mathrm E\mathopen{}\left[X_i\right] = 6\sum_{i=0}^{n-1} 10^i = \frac23 \times \left(10^n - 1\right)$$ より $$M = \frac4{99} \times \left(10^{2n} - 1\right) + \left(\frac23 \times \left(10^n - 1\right)\right)^2 = 48 \times \frac{10^{2n} - 1}{10^2 - 1} - 8 \times \frac{10^n - 1}{10 - 1} = \overbrace{4848 \cdots 48}^{2n\text{桁}} - \overbrace{88 \cdots 8}^{n\text{桁}}$$ を得る．後は $n = 3123$ を入れることで，$M$ の桁和が $\mathbf{40590}$ と求まる．

　桁の数字の候補を増やしたり，桁の数字に重みを付けた場合でも，同様に $M$ を求めることができる．