OMC082(C)

　（$AB^2 + BC^2 = CD^2 + DA^2$ なのでなんとなく三平方の定理が使いたくなる．そこで使えるように点を取る）
　線分 $BD$ の垂直二等分線に関して $C$ と対称な点を $C^\prime$ とする． 四角形 $ABC^\prime D$ の面積 $S^\prime$ は $S$ と等しいから $S^\prime$ の最大値を求めればよい． $$AB^2 - C^\prime B^2 = AD^2 - C^\prime D^2$$ より，三平方の定理から対角線 $AC^\prime$ と $BD$ は直交する（よって $2S^\prime = AC^\prime\times BD$ なのでPtolemyが刺さりそう ）．
　従って，Ptolemyの不等式より以下が成立する： $$2S^\prime = AC^\prime\times BD \le AB\times C^\prime D + BC^\prime\times DA = \sqrt{475} + \sqrt{2356}.$$ 等号が成立する図は存在するので，解答すべきは $475 + 2356 = \bf{2831}$．