OMC081(F)

Lagrange補間を使わないやり方．

補題2． $n$ を非負整数，$\alpha$ を $1$ でない複素数とする．$n$ 次以下の実係数多項式 $P_n(x)$ が $P_n(k)=\alpha^k$ ($k=0,1,\dots,n$) をみたすとき，以下が成り立つ．$$P_n(n+1)=\alpha^{n+1}-(\alpha-1)^{n+1}.$$

証明． $n$ についての帰納法で示す．$n=0$ の場合は明らか．$n\geq 1$ のとき，$$Q_{n-1}(x)=\frac{P_n(x+1)-P_n(x)}{\alpha-1}$$ は $n-1$ 次以下の多項式であり，各 $k=0,1,\dots,n-1$ に対し $Q_{n-1}(\alpha)=\alpha^k$ をみたすから，$Q_{n-1}(x)=P_{n-1}(x)$ である．したがって $$\begin{aligned} P_{n-1}(n)&=\frac{P_n(n+1)-P_n(n)}{\alpha-1},\\ P_n(n+1)&=(\alpha-1)(\alpha^{n}-(\alpha-1)^{n})+\alpha^n\\ &=\alpha^{n+1}-(\alpha-1)^{n+1} \end{aligned}$$ となり，示された．

問題の多項式は，$x^3+x^2+x+1$ の根について補題2の多項式を適当に（$0$ でない係数で）線形結合することで得られるから，$a_n$ を $n$ を用いて表せる．あとは本解説と同様である．