OMC074(E)

点数: 700

Writer: KitayamaYuji

　$peer$ 村には, $peper$ さん, $pepper$ さん, ... , $pe\overbrace{p...p}^{100}er$ さんの $100$ 人が住んでいます. $peer$ 村の住人の性格はどれも素直か照れ屋さんであり, 性格が素直な者は常に素直に本当のことを言い, 照れ屋さんは常に照れて嘘をついてしまいます. また, $peer$ 村の住人はどの二人も互いの性格が素直であるか照れ屋さんであるかを把握しています.
　ある時, $peer$ 村に旅人がやってきました. 旅人は, まず $1,2,...,100$ を並び替えた順列 $a_1,a_2,...,a_{100}$ であって $a_{a_n}\neq n$ を常にみたすものを適当に定め, そして $100$ 以下の正の整数 $n$ それぞれに対して, $pe\overbrace{p...p}^{n}er$ さんに

• $pe\overbrace{p...p}^{a_n}er$ さんは照れ屋さんですか？

と質問しました. すると, すべての村人が「はい」と回答しました.
　このとき, 「旅人の定めた $\lbrace a_n\rbrace$ と村人たちの性格」の組み合わせとして考えられるものは $m$ 個あります. $m$ が $10$ 以下の素数で割り切れる回数の総和を求めてください. 例えば, $m = 2^3 \times 3^5 \times7\times11$ であれば $9$ です.