OMC074(C)

点数: 600

Writer: KitayamaYuji

　$peer$ 村には, $peper$ さん, $pepper$ さん, ... , $pe\overbrace{p...p}^{100}er$ さんの $100$ 人が住んでいます. $peer$ 村の住人の性格はどれも素直か照れ屋さんであり, 性格が素直な者は常に素直に本当のことを言い, 照れ屋さんは常に照れて嘘をついてしまいます. また, $peer$ 村の住人はどの二人も互いの性格が素直であるか照れ屋さんであるかを把握しています.
　ある時, $peer$ 村に旅人がやってきました. 旅人は, $100$ 以下の正の整数 $n$ それぞれに対して, $pe\overbrace{p...p}^{n}er$ さんに

• $x$ を $101$ で割った余りを $f(x)$ としたとき, $2$ 以上 $100$ 以下の整数 $k$ であって, $pe\overbrace{p...p}^{f(n^k)}er$ さんが素直であるようなものはちょうど奇数個ですか？

と質問しました. すると, すべての村人が「はい」と回答しました.
　このとき, 村人たちの性格の組み合わせとして考えられるものは $m$ 通りあります. $m$の素因数分解を $$m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$$ とするとき, $p_1e_1+p_2e_2+\cdots+ p_ke_k$を求めてください. ただし, 各素数 $p_i$ は相異なり, 各 $e_i$ は正とします.