OMC074(B)

　左から $k$ 個目のマスに駒があるとき, その駒に得点 $k - 1$ を割り当て, 各盤面について $100$ 個の駒の得点の総和をその盤面の得点とする. このとき, 各手番の前後での盤面の得点の差は $2$ 以上 $9$ 以下である. また, ゲーム開始時の盤面の得点は $0$ 点であり, ゲーム終了時の盤面の得点は $100(n -1) - 1 = 100n - 101$ 点以上である. したがってこのゲームは, 安達さんを先攻として, 安達さんと島村さんが $0$ に交互に $2$ 以上 $9$ 以下の好きな数を足していき, $100n - 101$ 以上にしたほうが勝ちというゲームに言い換えられる.
　結論から言うと, このゲームには $n \equiv 1,2 \pmod{11}$ のとき島村さんに必勝法があり, それ以外のとき安達さんに必勝法があることが以下から分かる. 特にその総和は $\textbf{4131}$ である.

• $n \equiv 1 \pmod{11}$ のとき
  　島村さんは盤面の得点が $11$ を法として $100n - 100$ と等しくなるように常に操作できる.
• $n \equiv 2 \pmod{11}$ のとき
  　島村さんは盤面の得点が $11$ を法として $100n - 101$ と等しくなるように常に操作できる.
• $n \equiv 3 \pmod{11}$ のとき
  　安達さんは盤面の得点が $11$ を法として $100n - 100$ と等しくなるように常に操作できる.
• $n \equiv 0,4,5,\ldots,10 \pmod{11}$ のとき
  　安達さんは盤面の得点が $11$ を法として $100n - 101$ と等しくなるように常に操作できる.