OMC072(F)

　$99, 100, 101$ はどの二つも互いに素であるから, 任意の非負整数 $r_1\lt 99, r_2\lt 100,r_3\lt 101$ に対し, 中国剰余定理より以下の条件をみたす整数 $n$ が $99\times 100\times 101$ を法として一意に存在する.

• $n$ を $99$ で割った余りが $r_1$ である.
• $n$ を $100$ で割った余りが $r_2$ である.
• $n$ を $101$ で割った余りが $r_3$ である.

したがって, 求めるべき総和 $S$ は, $$\begin{aligned} S &= \sum_{k=1}^{98} ((\min \lbrace r_1, r_2, r_3 \rbrace = k \ である組 (r_1, r_2, r_3) の個数)\times k) \\ &=\sum_{k=1}^{98} (\min \lbrace r_1, r_2, r_3 \rbrace \geq k \ である組 (r_1, r_2, r_3) の個数) \\ &= \sum_{k=1}^{98}(99-k)(100-k)(101-k) \\ &= \sum_{k=1}^{98}k(k+1)(k+2) \\ &= \sum_{k=1}^{98} \frac14 \lbrace k(k+1)(k+2)(k+3) - (k-1)k(k+1)(k+2) \rbrace \\ &= \frac14 \times (98 \times 99 \times 100 \times 101)\\ &= \mathbf{24497550} \end{aligned}$$