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OMC069 (for experts)

OMC069(A)

ユーザー解説 by hamo21

　44 つの点をベクトルで対応させます．具体的には，0⃗,x1⃗,x2⃗,x3⃗\vec{0}, \vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3} とそれぞれの点を対応させます．
　原点から出てくる 11 次独立な 33 つのベクトルを定めると，そのベクトルのつくる平行六面体は一意に定まるので， この 33 つのベクトルを p⃗,q⃗,r⃗\vec{p}, \vec{q},\vec{r} と定めます．このとき平行六面体の原点以外の頂点の集合 SS は次のように表せます： S={p⃗,q⃗,r⃗,p⃗+q⃗,q⃗+r⃗,r⃗+p⃗,p⃗+q⃗+r⃗}. S= \{ \vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{p}+\vec{q}, \vec{q}+\vec{r}, \vec{r}+\vec{p}, \vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \}. x1⃗,x2⃗,x3⃗\vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3} が相異なる SS の要素になるような p⃗,q⃗,r⃗\vec{p}, \vec{q}, \vec{r} の組を考えます．
　SS の 77 つの要素から x1⃗,x2⃗,x3⃗\vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3} に対応させる方法は 7×6×5=2107 \times 6 \times 5=210 通りあります． ここで，SS から選んできた 33 つの要素が一次従属であるとき，条件を満たすような p⃗,q⃗,r⃗\vec{p}, \vec{q}, \vec{r} は存在しないことがわかるので，そのような場合を除きます．一次独立になるのは，以下のような場合です：

  • x1⃗=p⃗, x2⃗=q⃗, x3⃗=p⃗+q⃗\vec{x_1}=\vec{p}, ~ \vec{x_2}=\vec{q}, ~ \vec{x_3}= \vec{p}+\vec{q}．
  • x1⃗=p⃗, x2⃗=q⃗+r⃗, x3⃗=p⃗+q⃗+r⃗\vec{x_1}=\vec{p}, ~ \vec{x_2}=\vec{q}+\vec{r}, ~ \vec{x_3}= \vec{p}+\vec{q}+\vec{r}．

これらはともに 1818 通りずつあるので，条件を満たすような p⃗,q⃗,r⃗\vec{p}, \vec{q}, \vec{r} の組は 210−18×2=174210-18\times2=174 通りあります．
　最後に，p⃗,q⃗,r⃗\vec{p}, \vec{q}, \vec{r} は平行六面体をつくるにあたって区別しないので 3!3! で割って 29\textbf{29} 通りです．