OMC066(F)

　集合 $A_n\setminus A_{n-1}$ は正三角形の辺上に等間隔に並ぶ $3n$ 点からなることが容易にわかる. $n$ 回の行動でこれらの点に至るには, $3$ 方向すべてに移動しないことが必要十分条件であるから, そのような経路としてあり得るものの数は $$3\times\left(\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k-2\right)+3=3\times 2^{n}-3$$ 特に $n=10$ のときこれは $3069$ であり, 求める確率は $\dfrac{3069}{3^{10}}=\dfrac{341}{6561}$ より, 解答すべき値は $\textbf{6902}$ である.