OMC066(D)

　$D$ から $AC$ におろした垂線の足を $H$ としたとき, $DH=9$ であることを示す.

証明1. 　$AC$ と $BD$ の交点を $E$ とすれば, 内角の二等分線定理から $$AE:EC=34:16$$ が成立するから, $AH=HC$ とあわせて $$AH:HE:EC=25:9:16$$ が従う. よって $BC:DH=CE:EH$ より $DH=9$ である.

証明2.　$AB$ と $DH$ の交点を $F$ とすれば, $AF=BF=17$ であり, 一方で $$\angle{BDF}=\angle{DBC}=\angle{FBD}$$ より $BF=DF=17$ である. よって $FH=BC/2=8$ より $DH=DF-FH=9$ を得る.

　三平方の定理より $AC=30$ であることとあわせて, 求める面積は $(16+9)\times30/2=\textbf{375}$ である.

余談.　今回は不要であるが, 角度の条件より $A,B,C,D$ は同一円周上にある. これを示そう.
　$ABC$ の外接円と $AC$ の垂直二等分線の交点のうち, $AC$ に関して $B$ と反対側にあるものを $D^\prime$ とすると, これは $AD^\prime=CD^\prime$ をみたし, 円周角の定理より $BD^\prime$ は $\angle ABC$ を二等分する. すなわち $D$ は $D^\prime$ に一致する.
　すなわち, 実は $\angle ADB=90^\circ$ であることや, 証明2における $F$ はこの円の中心であることが従う.