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OMC062

OMC062(B)

ユーザー解説 by pomodor_ap

BDBD の垂直二等分線について CC と対称な点を EE とする. このとき，EE は円 ABCDABCD 上にあり，また AEAE はこの円の直径であるから， ∣ABCD∣=∣ABED∣=7×40+8×52=710+20|ABCD|=|ABED|=\dfrac{7×\sqrt{40}+8×5}{2}=7\sqrt{10}+20 であり，解答すべき値は 37\textbf{37}.
なお，余談だが，上記の解説と同じ点の取り方をすることで，以下のようにPtolemyの定理の証明が可能である. :
円に内接する四角形 ABCDABCD について，BDBD の垂直二等分線について CC と対称な点を EE とし，ACAC と BDBD の交点を FF とすると，∠BAC=∠EAD,∠ABD=∠AED\angle BAC=\angle EAD, \angle ABD=\angle AED から ∠AFB=∠ADE\angle AFB=\angle ADE であり，四角形 ABCDABCD と ABEDABED の面積が等しいこともふまえ，AB×BE+AD×DE=AC×BDAB×BE+AD×DE=AC×BD が成立する. BC=ED,BE=CDBC=ED, BE=CD から，AB×CD+AD×BC=AC×BDAB×CD+AD×BC=AC×BD となり，したがってこの定理は示された.