OMC055(F)

　各マスに対して必要な操作の最小回数は, 左下から順次定まり, 以下のような再帰的構造が確認できる： $$\begin{matrix} 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 \\ 15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 \\ 15 & 14 & 13 & 13 & 13 & 13 & 14 & 15 & 15 & 14 & 13 & 13 & 13 & 13 & 14 & 15 \\ 15 & 15 & 13 & 12 & 12 & 13 & 15 & 15 & 15 & 15 & 13 & 12 & 12 & 13 & 15 & 15 \\ 15 & 15 & 13 & 12 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 12 & 13 & 15 & 15 \\ 15 & 14 & 13 & 13 & 11 & 10 & 10 & 11 & 11 & 10 & 10 & 11 & 13 & 13 & 14 & 15 \\ 15 & 14 & 14 & 15 & 11 & 10 & 9 & 9 & 9 & 9 & 10 & 11 & 15 & 14 & 14 & 15 \\ 15 & 15 & 15 & 15 & 11 & 11 & 9 & 8 & 8 & 9 & 11 & 11 & 15 & 15 & 15 & 15 \\ 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 8 & 9 & 11 & 11 & 15 & 15 & 15 & 15 \\ 7 & 6 & 6 & 7 & 7 & 6 & 6 & 7 & 9 & 9 & 10 & 11 & 15 & 14 & 14 & 15 \\ 7 & 6 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 11 & 10 & 10 & 11 & 13 & 13 & 14 & 15 \\ 7 & 7 & 5 & 4 & 4 & 5 & 7 & 7 & 11 & 11 & 11 & 11 & 12 & 13 & 15 & 15 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 7 & 7 & 15 & 15 & 13 & 12 & 12 & 13 & 15 & 15 \\ 3 & 2 & 2 & 3 & 5 & 5 & 6 & 7 & 15 & 14 & 13 & 13 & 13 & 13 & 14 & 15 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 7 & 6 & 6 & 7 & 15 & 14 & 14 & 15 & 15 & 14 & 14 & 15 \\ 0 & 1 & 3 & 3 & 7 & 7 & 7 & 7 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 & 15 \end{matrix}$$ これより, 必要な操作の最小回数が $n$ であるようなマスの数 $f(n)$ について, $$f(n)=3^{b(n)}$$ の成立が確認できる. ここで $b(n)$ は, $n$ を二進数で表記したときの桁和である. よって, $$b(2^{2021}-2021)=b((2^{2021}-1)-2020)=2021-b(2020)=2014$$ より, $M=f(2^{2021}-2021)=3^{2014}$ は正の約数を $\textbf{2015}$ 個もつ.