OMC055(E)

　$B$ を通り $AC$ に平行な直線 $\ell$ について, $AP,AQ$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし, $A$ からおろした垂線の足を $F$ とすれば, 以下のようにそれぞれの長さを計算できる： $$AF=BF=1,\quad BD=DF-BF=\sqrt{3}-1,\quad DE=AD=2$$ これより, $BP:PC=(\sqrt{3}-1):\sqrt{3}$ および $BQ:QC=(\sqrt{3}+1):\sqrt{3}$ であるから $$BP:PQ:QC=(5-\sqrt{3}):2\sqrt{3}:(6-\sqrt{3})$$ $ABC$ の面積が $\sqrt{3}/2$ であることから, $APQ$ の面積は $3/11$ であり, 特に解答すべき値は $\textbf{14}$ である.
　なお $\sin 15^\circ=(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4$ を利用すれば, $$BP:PC=\triangle ABP:\triangle APC=\sqrt{2}/2\times AP\sin15^\circ:\sqrt{3}/2\times AP\sin30^\circ=(\sqrt{3}-1):\sqrt{3}$$ などとすることで同様に $BP:PQ:QC$ を計算することができる.