OMC054(F)

点数: 500

Writer: Hurdia

　相異なる全 $54$ 枚のカードを重ねたものをデッキと呼び, デッキをいくつかに分割したものをパケットと呼びます. また, デッキに対して以下で定義される一連の操作を $d$-シャッフルと定義します.

• 操作前にデッキに重ねられたカードを上から順に $1$ 枚目, $2$ 枚目, ... , $54$ 枚目とする.
• デッキをパケット $1$ からパケット $d$ に分割する. パケット $i$ は $i$ 枚目, $i+d$ 枚目, ... からなる.
• 各パケット内の上下をすべて入れ替え, パケット $i$ の上にパケット $i+1$ を積む要領で, デッキを再構成する.

　$d$-シャッフルを繰り返し行ったとき, デッキが一度目の $d$-シャッフルを行う前の順序にはじめて戻る $d$-シャッフルの回数を $f(d)$ とするとき, すべての $54$ の正の約数 $d$ について $f(d)$ の総和を求めてください.
　以下に, デッキが全 $12$ 枚である場合の $3$-シャッフルの様子を示します (上下を左右に置き換えています)： $$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \to 12,9,6,3,11,8,5,2,10,7,4,1$$