OMC051(E) - 第二種 Stirling 数

　一般に $2021$ を $N$ とおく．非負整数 $j,\ell$ に対し，第二種 Stirling 数を $\mathscr S(j,\ell)$ と表すと，$0^0=1$ とみなせば $$\mathscr S(j,\ell) = \frac1{\ell!}\sum_{k=0}^\ell(-1)^{\ell-k}\mathinner{{}_\ell\mathrm C_k}k^j$$ である．また $\mathscr S(j,j) = 1$ および $j \lt \ell$ で $\mathscr S(j,\ell) = 0$ が成り立つ．
　$S$ を固定すると $A$ は一通りに定まるから，仮定の式と $\mathscr S(i,N)$ を照らし合わせることで，各 $k$ に対して $$a_k = \frac{S\mathinner{(-1)^{N-k}}{}_N\mathrm C_k}{N!} \implies S = (-1)^{N-k}\mathinner{k!}\mathinner{(N-k)!}a_k$$ が分かる．よって $N$ を元に戻し $k = 334$ とすることで，求める $m$ として，$334!\mathinner{(2021-334)!}$ が $5$ で割り切れる回数 $\mathbf{500}$ を得る．