OMC051(E)

　$c = 5^m \times n$ とおく．与えられた条件式より，$(a_i)_{0 \leq i \leq 2021}$ は次の一次連立方程式を満たす： $$\begin{pmatrix} 0^0 & 1^0 & \cdots & 334^0 & \cdots & 2021^0 \\ 0^1 & 1^1 & \cdots & 334^1 & \cdots & 2021^1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0^{2020} & 1^{2020} & \cdots & 334^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\ 0^{2021} & 1^{2021} & \cdots & 334^{2021}-c & \cdots & 2021^{2021} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{2020} \\ a_{2021} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$

左辺の係数行列を $A$ とおく． $S \neq 0$ より $a_{334} \neq 0$ なので，この連立方程式には非自明な解が存在する． よって，$\det(A) = 0$ が成り立つ． 行列式の多重線型性と展開公式を用いて， $$\begin{aligned} \det(A) &= \det \begin{pmatrix} 0^0 & \cdots & 333^0 & 334^0 & 335^0 & \cdots & 2021^0 \\ 0^1 & \cdots & 333^1 & 334^1 & 335^1 & \cdots & 2021^1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0^{2020} & \cdots & 333^{2020} & 334^{2020} & 335^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\ 0^{2021} & \cdots & 333^{2021} & 334^{2021} & 335^{2021} & \cdots & 2021^{2021} \\ \end{pmatrix} \\ & \quad\quad+\det \begin{pmatrix} 0^0 & \cdots & 333^0 & 0 & 335^0 & \cdots & 2021^0 \\ 0^1 & \cdots & 333^1 & 0 & 335^1 & \cdots & 2021^1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0^{2020} & \cdots & 333^{2020} & 0 & 335^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\ 0^{2021} & \cdots & 333^{2021} & -c & 335^{2021} & \cdots & 2021^{2021} \\ \end{pmatrix} \\ &= \det \begin{pmatrix} 0^0 & \cdots & 333^0 & 334^0 & 335^0 & \cdots & 2021^0 \\ 0^1 & \cdots & 333^1 & 334^1 & 335^1 & \cdots & 2021^1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0^{2020} & \cdots & 333^{2020} & 334^{2020} & 335^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\ 0^{2021} & \cdots & 333^{2021} & 334^{2021} & 335^{2021} & \cdots & 2021^{2021} \\ \end{pmatrix} \\ & \quad\quad +c\det \begin{pmatrix} 0^0 & \cdots & 333^0 & 335^0 & \cdots & 2021^0 \\ 0^1 & \cdots & 333^1 & 335^1 & \cdots & 2021^1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0^{2020} & \cdots & 333^{2020} & 335^{2020} & \cdots & 2021^{2020} \\ \end{pmatrix} \end{aligned}$$ を得る．ここで Vandermonde の行列式を用いてさらに計算を進めると， $$\det(A) = \prod_{0 \leq i \lt j \leq 2021} (j-i) + c \prod_{\substack{0 \leq i \lt j \leq 2021 \\ i,j \neq 334}} (j-i)$$ となるので，$\det(A) = 0$ より， $$c = -\prod_{i = 0}^{333}(334-i) \times \prod_{j = 335}^{2021}(j-334) = -334! \times (2021-334)!$$ を得る． $c$ は $5$ で最大 $500$ 回割り切れるので，求める答えは $\textbf{500}$ である．