OMC051(E)

解法1.　与式を利用して適当に加減を行うことで, 多項式 $$P(x)=x(x-1)(x-2)(x-333)(x-335)\cdots (x-2021)$$ について以下が成立する. $$S=\sum_{k=0}^{2021} P(k)a_k = -(334!)\times(2021-334)!\times a_{334}$$ したがって, 求める $m$ は結局 $334!\times(2021-334)!$ が $5$ で割り切れる回数 $\textbf{500}$ である.

解法2. 　与式を利用して適当に加減を行うことで, $0 \leq i \lt 2021$ なる整数 $i$ に対し以下の成立が分かる： $${}_0\mathrm{P}_i \times a_0 + {}_1\mathrm{P}_i \times a_1 + \cdots + {}_{2021}\mathrm{P}_{i} \times a_{2021} = 0\quad \cdots\cdots (1)$$ ただし ${}_0\mathrm{P}_0 = 1$, $n \lt r$ のとき ${}_n\mathrm{P}_r = 0$ とする. これを用いて, $0 \leq i \leq 2021$ なる任意の整数 $j$ に対し, $$a_j = (-1)^{2021-j}{}_{2021}\mathrm{C}_{j}\times a_{2021}\quad \cdots\cdots (2)$$ であることを帰納法によって示す. ただし通常の帰納法と逆順に辿るものとする. すなわち, ある整数 $k\lt 2021$ に対し, $j\gt k$ で成立を仮定し, $j=k$ での成立を示す. ここで $j = 2021$ の場合は明らかであることに留意せよ.
　　$(1)$ で $i=k$ としたものから始め, 帰納法の仮定および ${}_{s}\mathrm{C}_{t} \times {}_{t}\mathrm{P}_{u} = {}_{s-u}\mathrm{C}_{t-u} \times {}_{s}\mathrm{P}_{u}$ を利用することで $$\begin{aligned} k! \times a_k &= -\left({}_{k+1}\mathrm{P}_{k} \times a_{k+1} + \cdots + {}_{2021}\mathrm{P}_{k} \times a_{2021}\right) \\ &= -\left\{(-1)^{2021-k-1}{}_{k+1}\mathrm{P}_{k} \times {}_{2021}\mathrm{C}_{k+1}+ \cdots + (-1)^0{}_{2021}\mathrm{P}_{k} \times {}_{2021}\mathrm{C}_{2021}\right\}a_{2021} \\ &= -\left\{(-1)^{2021-k-1}{}_{2021-k}\mathrm{C}_{1} + \cdots + (-1)^0{}_{2021-k}\mathrm{C}_{2021-k}\right\}{}_{2021}\mathrm{P}_{k} \times a_{2021} \\ &= (-1)^{2021-k}{}_{2021}\mathrm{P}_{k} \times a_{2021} \end{aligned}$$ ただし最後は二項定理である. これより成立が示され, 特に $$-334!\times(2021-334)!\times a_{334}=2021\times a_{2021}$$ に留意すれば, 以下のように変形できる. $$\begin{aligned} S&=\sum_{k=0}^{2021} k^{2021}a_k \\ &= a_{2021} \sum_{k=0}^{2021} k^{2021}(-1)^{2021-k}{}_{2021}\mathrm{C}_{k}\\ &=2021!\times a_{2021}=-(334!)\times(2021-334)!\times a_{334} \end{aligned}$$ ただし, 途中の等号は包除原理の発想による. したがって, 解法1と同様に求める $m$ は $\textbf{500}$ である.

補足.　$A$ の母関数 $f$ をとる. すなわち $$f=a_0x^0+a_1x^1+\cdots+a_{2021}x^{2021}$$ このとき, 与条件は「整数 $0 \leq i \lt 2021$ に対し $f^{(i)}(1) = 0$」と言いかえられる. すなわち $1$ は $f$ の $2021$ 重根であるから, $f$ が高々 $2021$ 次であることと併せて $f=a_{2021}(x-1)^{2021}$ と表せ, 特に $(2)$ が成立する.