OMC049(C)

　$a+b+c+d=19$ なる整数 $0\leq a,b,c,d\leq 9$ の組を数え上げればよい.

解法1.　$(a+b,c+d)=(1,18)$ なるものは $2\times1=2$ 通り, $(a+b,c+d)=(2,17)$ なるものは $3\times2=6$ 通りあり, 同様にこれを $(18,1)$ まで考えることで求める場合の数は $$2\times 1+3\times2+\cdots+10\times 9+9\times 10+\cdots+1\times 2=\textbf{660}$$

解法2.　$9$ 以下であるという条件を無視すれば ${}_{22}\mathrm{C}_{3}$ 通りである. ここで $a,b,c,d$ のうち $10$ 以上であるものは高々一つである. $a$ が $10$ 以上であるとき, $a^\prime=a-10$ とおけば $a^\prime+b+c+d=9$ なる非負整数の組 $(a^\prime,b,c,d)$ の個数に帰着され, これは ${}_{12}\mathrm{C}_{3}$ である. したがって, 求める場合の数は ${}_{22}\mathrm{C}_{3}-4\times{}_{12}\mathrm{C}_{3}=\textbf{660}$ である.