OMC049(D)

　定義から $\{3x^2\}$ は常に $0$ 以上 $1$ 未満であるから, $$\frac{3}{2}\lt \left\lfloor\frac{1}{2}x\right\rfloor\le\frac{5}{2} \implies \left\lfloor\frac{1}{2}x\right\rfloor=2$$ すなわち $4\le x\lt 6$ である. ここで $\{3x^2\}=3x^2-m$ ($m=48,\cdots,107$) とおけば, $$\{3x^2\}+\left\lfloor\frac{1}{2}x\right\rfloor-\frac{5}{2}=0 \implies x=\sqrt{\frac{m}{3}+\frac{1}{6}}$$ これらの形で表される $60$ 個が求める実数解であり, それらの平方の総和は $$\left(\frac{48}{3}+\frac{1}{6}\right)+\cdots+\left(\frac{107}{3}+\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{3}\times\frac{(48+107)\times60}{2}+\frac{1}{6}\times60=\textbf{1560}$$