OMC049(F)

　経路によって分割される $2$ 領域のうち, 上側に含まれるマスの個数を $x$ とすれば, $x$ としてあり得る値は $$x=0,2,5,8,17,20,23,25$$ あとは各 $x$ について, 以下の条件をみたす組 $(a,b,c,d,e)$ の個数 $p(x)$ を求めればよい.

• すべて $0$ 以上 $5$ 以下の整数である.
• $a\leq b\leq c\leq d\leq e$
• $a+b+c+d+e=x$

ここで $a,b,c,d,e$ は各行について上側の領域に属するマスの個数に対応する.
　$x\leq 5$ のときこれは $x$ の分割数に一致し, $p(0)=1,p(2)=2,p(5)=7$ である. また $x=8$ のとき, $6$ 以上の整数を用いた分割, および $6$ つ以上の正整数を用いた分割を除外することで $$p(8)=22-2\times(p(0)+p(1)+p(2))=14$$ さらに $p(x)=p(25-x)$ であるから, 以上より求める場合の数は $2\times(1+2+7+14)=\textbf{48}$ である.