OMC040(E)

点数: 700

Writer: jun2nosimobe

　$A,B$ の二人が以下のルールに基づき, $2000$ 以下の正整数一つずつを取り合うゲームを行います：

• 残り $2$ 数になるまでは, $A$ を先攻として交互に数を一つずつ選んで取る.
• 残り $2$ 数になった時点で, $A,B$ の取った $999$ 数の最大値をそれぞれ $M_A,M_B$ とする.
• $M_A\lt M_B$ ならば $A$ が, $M_A\gt M_B$ ならば $B$ が一方の数を選んで取り, もう一方が最後の一つを取る.
• 最後に $A,B$ が取った数をそれぞれ $a,b$ とする.
• $aM_A\gt bM_B$ ならば $A$ の勝ち, $aM_A\lt bM_B$ ならば $B$ の勝ち, $aM_A=bM_B$ ならば引き分けとする.

　ここで, $2000$ 以下の正整数に対して定義される関数 $f$ を次のように定めます：

• $A$ が最初に $m$ が書かれたカードを取ったのち, 両者が勝ちを目指して最善な行動を取り続けると仮定したとき, 帰結が $B$ の勝ちならば $f(m)=m$, $A$ の勝ちならば $f(m)=-m$, 引き分けならば $f(m)=0$ とする.

このとき, $m=1,2,\cdots,2000$ について $f(m)$ の総和を求めてください.