OMC036(F)

点数: 700

Writer: KitayamaYuji

注意：このコンテストでは, すべての問題で直方体 $ABCD-EFGH$ を $\mathfrak{C}$ で表し, その体積を $V(\mathfrak{C})$ で表します.

　$\mathfrak{C}$ は各辺の長さが正の偶数値であり, 一辺 $1$ の小立方体に分割されています. 上から $i$ 番目, 左から $j$ 番目, 手前から $k$ 番目の小立方体には非負整数 $N(i,j,k)$ が割り当てられています.
　ここで, ある非負整数の割り当て方が優しいとは, 以下の条件をみたすことをいいます.

• $N(i,j,k)$ の総和は $1000$ である.
• $i+j$ が偶数であるような $N(i,j,k)$ の総和と, $i+j$ が奇数であるような $N(i,j,k)$ の総和が等しい.
• $j+k$ が偶数であるような $N(i,j,k)$ の総和と, $j+k$ が奇数であるような $N(i,j,k)$ の総和が等しい.
• $i+k$ が偶数であるような $N(i,j,k)$ の総和と, $i+k$ が奇数であるような $N(i,j,k)$ の総和が等しい.

　割り当て方 $\sigma$ に対し $N(i,j,k)$ の総積を $P(\sigma)$ で表し, すべての優しい割り当て方 $\sigma$ について $P(\sigma)$ の総和を $M(\mathfrak{C})$ とします. $M(\mathfrak{C})$ が最大値をとるような $\mathfrak{C}$ について, $V(\mathfrak{C})$ としてあり得る値の総和を求めてください.
　ただし, $1.41\lt\sqrt{2}\lt1.42,1.73\lt\sqrt{3}\lt1.74,2.23\lt\sqrt{5}\lt2.24$ が保証されます.