OMC035(D)

点数: 400

Writer: darenya

　平面上に正五角形 $P_1P_2P_3P_4P_5$ および正二十角形 $Q_1Q_2\cdots Q_{19}Q_{20}$ があり (ただし頂点の番号はいずれも時計回りであるとする), 以下の条件をともにみたしています.

• 正五角形の中心は $Q_2$ である.
• $4$ 点 $Q_1,P_3,P_2,Q_4$ はこの順に同一直線上にある.

　正二十角形の一辺の長さが $5$ であるとき, $P_1P_2$ と $Q_2Q_3$ の交点 $X$ について $(P_2Q_1-P_1X)^2$ を求めてください. ただし, 求める値は正整数 $a,b$ によって $a-\sqrt{b}$ と表せるので, $a+b$ を解答してください.
　ここで, $\sin18^\circ=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ および $\cos36^\circ=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$ を用いても構いません.