OMC033(C)

　直線 $AB$ と $\ell$ の交点を $M$ とすれば, 方べきの定理より $$MP^2=AM\times BM=MQ^2$$ すなわち $M$ は $PQ$ の中点であるから, 中線定理より $$AP^2+AQ^2=2\left(AM^2+PM^2\right)\implies AM=\sqrt{\frac{5^2+7^2}{2}-3^2}=2\sqrt 7$$ これより, $BM=AM\pm AB$ を上の方べきの式に代入することで $AB=19/2\sqrt{7}$ を得るから, 特に解答すべき値は $361+28=\textbf{389}$ である.