OMC023(D)

点数: 400

Writer: natu_math

　$AB=2,BC=\sqrt{6},CA=1$ なる三角形 $ABC$ において, 点 $A,B$ を通り辺 $BC$ に接する円を $O_1$, 点 $A,C$ を通り辺 $BC$ に接する円を $O_2$ とします. 直線 $\ell$ が点 $A$ を通りながら動き, その $O_1,O_2$ との交点のうち $A$ でない方をそれぞれ $P,Q$ とするとき, 線分 $PQ$ の長さとしてあり得る最大値を求めてください.
　ただし, 答えは最大公約数が $1$ である正の整数 $a,c$ と, $1$ より大きい平方数で割り切れない正の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので, $a+b+c$ を解答してください.