OMC022(F)

　公式解説 中の（演習：なぜ？）に対する証明です. 演習したい方はブラウザバックすることをお勧めします.

【2024/01/13 22:56 追記】証明に適切な言葉を補い分かりやすくしました.

演習1. 　奇数 $s$ に対し, $x^2+y^2= s$ と $x^2+y^2=2s$ で整数解 $(x,y)$ の個数が等しいことを示せ.

証明1. 　$x^2+y^2=2s$ に $x=a+b$ , $y=a-b$ を代入すれば $a^2+b^2=s$ となる. $2s\equiv 2 \pmod{4}$であるから, $a,b$ は必ず整数になることが示される(演習：なぜ？).

【2022/08/02 22:04 追記】locker_kunのユーザー解説：上記の(演習：なぜ？)の解説です.

演習2.　 $x^2+y^2=2^m5^n$ の整数解 $(x,y)$ のうち $(x,y)$ が互いに素な組が(順序と符合を無視して)ちょうど $1$ 個のとき, 整数解 $(x,y)$ の組は $4(n+1)$ 個あることを示せ. ただし $m,n$ は偶数とする.

証明2. 　$(x,y)$ の最大公約数を $d$ とする. 正整数解 $(x,y)$ の個数を求めよう. 公式解説中に説明がある通り, $m$ に解の個数は依存せず, $m=0$ に変えても整数解 $(x,y)$ の組の個数は変わらないため, $m=0$ とする. 与式の両辺を $d^2$ で割ると $$\left(\frac{x}{d}\right)^2+\left(\frac{y}{d}\right)^2=\frac{2^{m}5^{n}}{d^2} = \frac{5^n}{d^2}$$ 　 偶奇性より $x=y$ はあり得ない. $x,y$ を正整数とすれば, $\gcd(x/d,y/d)=1$ より固定された$5^{n/2}$ 以外の $d$ に対して $(x/d, y/d)$ の組の個数は順序を無視して $1$ 個ある. これは公式解説中で示されている. $d$ としてありうる $d=5^{n/2}$ 以外の整数は $n/2$ 個あるため, 条件をみたす正整数の組 $(x,y)$ の組の個数は順序を無視して $n/2$ 個である. $d=5^{n/2}$ のとき, 正整数の組 $(x,y)$ は存在しない. 整数 $x,y$ のどちらかが $0$ となる組はちょうど $4$ 組ある. したがって, 条件をみたす整数 $(x,y)$ の組の個数は $$\frac{n}{2} \cdot 2^2 \cdot 2 +4 = 4(n+1)$$ 　個である.