OMC016(C)

$F$ が内心までの部分は公式解説と同様です. 以下，公式解説では計算が面倒ですが，この構図 を使うことで計算が楽になります.

三角形 $ABC$ の外接円と $AF$ の交点を $M(\neq A)$ とすると，この構図 より $AB×AC=AM^2-BM^2$ であり，さらに $AM-BM=AF=\sqrt 6$，$AB×AC=18$ を代入することで $AM=2\sqrt 6，BM=\sqrt 6$ となる. したがって，Ptolemy の定理より，$\sqrt 6(AB+AC)=2\sqrt 6\cdot BC$ から $BC=\dfrac{9}{2}$ となり，したがって解答すべき値は $\textbf{11}$.