OMC012(E) - 他の計算解法

　$AB = AC = 12\sqrt x$ とおく．このとき，方べきの定理より $$12\sqrt x\times BD = BA \times BF = 24 \implies AD = 12\sqrt x - \frac2{\sqrt x}=\frac{12x-2}{\sqrt x}$$ が分かり，同様に $AG = \dfrac{12x - 3}{\sqrt x}$ が分かる．また $\alpha = \angle BAC$ として $$\sin\frac\alpha2 = \frac1{12\sqrt x} \times \frac{BC}2=\frac1{2\sqrt x} \implies \cos\alpha = 1 - 2\left(\frac1{2\sqrt x}\right)^2 = 1 - \frac1{2x} = \frac{2x-1}{2x}$$ であるから，余弦定理より $$\begin{aligned} &DG^2 = AD^2 + AG^2 - 2 AD \times AG\cos\alpha\\ &\mskip-5mu\Longrightarrow\;39 = \frac{(12x-2)^2+(12x-3)^2}x - \frac{\mathinner{(12x-2)}\mathinner{(12x-3)}}x \times \frac{2x-1}x \\ &\mskip-5mu\Longrightarrow\;39x^2 = x\left((12x-2)^2 - 2\mathinner{(12x-2)}\mathinner{(12x-3)} + (12x-3)^2\right) + \mathinner{(12x-2)}\mathinner{(12x-3)}\\ &\mskip-5mu\Longrightarrow\;39x^2 = x\mathinner{((12x-2)-(12x-3))^2} + \left(144 x^2 - 60x + 6\right) \\ &\mskip-5mu\Longrightarrow\;105x^2 - 59x + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; \mathinner{(7x-3)}\mathinner{(15x-2)} = 0. \end{aligned}$$ $24\sqrt x = AB + AC \gt BC = 12$ より $x \gt \dfrac14$ であるから $x = \dfrac37$ が分かり，求める値は $12^2 \times 3 \times 7 = \mathbf{3024}$．