OMC012(E)

補題.　下図で $AB=AC$ のとき, $BQ:QC=PQ:QR$ である.

証明.　直線 $AC$ 上に $QR=QR^\prime$ なる $R$ でない点 $R^\prime$ をとると, $\angle BPQ=\angle ARQ=\angle CR^\prime Q$ が成立する. これと $\angle B=\angle C$より $\triangle BPQ$ と $\triangle CR^\prime Q$ は相似であるから, $BQ:QC=PQ:QR^\prime=PQ:QR$. 　補題とトレミーの定理より 　　$$DE\times FG+5\sqrt{39}=3DE\times 2FG$$ が従うから, $DE\times FG=\sqrt{39}$ である. $\angle DEG=\angle DFG$ に留意すれば, $DE=x$ とおけば余弦定理より 　　$$\displaystyle \frac{x^2+(3x)^2-39}{2\times x \times 3x}=\displaystyle \frac{(\frac{\sqrt{39}}{x})^2+(\frac{2\sqrt{39}}{x})^2-39}{2\times \frac{\sqrt{39}}{x} \times \frac{2\sqrt{39}}{x}}$$ を解けばよい. これを整理すると, $x^4+5x^2-78=0$ となり, $x=\displaystyle \frac{\sqrt{39}}{3}$ を得る. よって $DE=\displaystyle \frac{\sqrt{39}}{3}, FG=3, EG=\sqrt{39}$ が分かり, 余弦定理より 　　$$\cos \angle EDG=\displaystyle \frac{(\frac{\sqrt{39}}{3})^2+39-39}{2\times \frac{\sqrt{39}}{3}\times \sqrt{39}}=\frac{1}{6}$$ また $\angle EDG=\angle GFC$より, 　　$$CG=\sqrt{3^2+4^2-2\times 3\times4\times\displaystyle\frac{1}{6}}=\sqrt{21}$$ となる. 方べきの定理より 　　$$4\times(4+5)=\sqrt{21}\times CA$$ であるから, $CA=\displaystyle \frac{36}{\sqrt{21}}=12\sqrt{\displaystyle \frac{3}{7}}$ で, 特に求める値は $12^2\times 3 \times 7=\textbf{3024}$ である.