OMC012(D)

　まず, $n$ 個の円周によって球面は最大で $n^2-n+2$ 個に分割できることを示す. 分割の最大数を実現するには, どの $2$ 円も二つの交点をもち, かつどの $3$ 円も一点で交わらなければよく, このような配置は可能である. このとき, 球面が $a_n$ 個に分割されるとすると, 漸化式 $a_{n+1}=a_{n}+2n$ が成立するから, $a_{1}=2$ と合わせて $a_{n}=n^2-n+2$ の成立がわかる.
　以下, $n$ 個の球面によって空間は最大で $\dfrac{n(n^2-3n+8)}{3}$ 個に分割できることを示す. 分割の最大数を実現するには, どの球面についても他のすべての球面と交わり, かつその交円が上で示した最大の分割数をみたせばよく, このような配置は可能である. このとき, 球面が $b_n$ 個に分割されるとすると, 漸化式 $b_{n+1}=b_{n}+a_{n}$ が成立するから, $b_{1}=2$ と合わせて $b_{n}=\dfrac{n(n^2-3n+8)}{3}$ の成立がわかる.
　特に求める値は $b_{10}=\textbf{260}$ である.