x=n126x=\dfrac{n}{126}x=126n とおけば, 10x=d.333⋯10x=d.333\cdots10x=d.333⋯, 100x=d3.333⋯100x=d3.333\cdots100x=d3.333⋯ より 90x=9d+390x=9d+390x=9d+3 であり, すなわち これが整数となるのは d=3,8d=3,8d=3,8 のときで, それぞれ n=42,105n=42,105n=42,105 であるから, 求める値は 147\textbf{147}147 である.
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