OMC010(E)

点数: 500

Writer: k0923_

　$AB=BC=4$, $\angle B=90^{\circ}$ をみたす三角形 $ABC$ において, 辺 $AC$ 上に点 $D$, 線分 $BD$ 上に点 $E, F$ があり, $BE=FD, EF=1$ を満たしています. また $B, E, F, D$ はこの順にあります.ここで直線 $AE$ と直線 $CF$ の交点を $G$ とすると, 三角形 $EFG$ の面積は $\displaystyle\frac{1}{2}$ でした.
　このとき, $AD\times DC$ としてあり得る値の総積は, 最大公約数が $1$ であるような $2$ つの正整数 $x, y$ を用いて $\displaystyle \frac{x}{y}$ と表されます. $x+y$ を解答してください.