OMC008(F) - 第二種 Stirling 数

　一般に $2020$ を $N$ とおく．非負整数 $m,k$ に対し，第二種 Stirling 数を $S(m,k)$ と表すと，$0^0=1$ とみなせば $$S(m,k) = \frac1{k!}\sum_{n=0}^k(-1)^{k-n}\mathinner{{}_k\mathrm C_n}n^m.$$ また $S(m,m)=1$ および $m\lt k$ で $S(m,k)=0$ であることとあわせると， $$\begin{aligned} \sum_{n=0}^N(-1)^{N-n}\mathinner{{}_N\mathrm C_n}(n + 1)^N &= \sum_{n=0}^N(-1)^{N-n}\mathinner{{}_N\mathrm C_n}\sum_{m=0}^N{}_N\mathrm C_m\mathinner{n^m} \\ &= \sum_{m=0}^N{}_N\mathrm C_m\sum_{n=0}^N(-1)^{N-n}\mathinner{{}_N\mathrm C_n}n^m \\ &= \sum_{m=0}^N{}_N\mathrm C_m\mathinner{N!}S(m,N) \\ &= {}_N\mathrm C_N\mathinner{N!}S(N,N) = N!. \end{aligned}$$ $N$ を元に戻すと，これが $2$ で割り切れる最大の回数は $2013$ 回．求める回数もこれに等しく $\mathbf{2013}$ であることは，公式解説と同様．

【追記】$(-1)^{N-n}$ を付加したものではなく，与式をそのまま変形する方法．
$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^N\mathinner{{}_N\mathrm C_n}(n + 1)^N &= N!\sum_{n=0}^N\frac{(n + 1)^{N+1}}{\left(n + 1\right)!\left(N - n\right)!} \\ &= N!\sum_{m=1}^{\!N+1\!}\frac{m^{N+1}}{m!\left(N + 1 - m\right)!} \left(-1 + 2\right)^{N+1-m} \\ &= N!\sum_{m=0}^{\!N+1\!}\frac{m^{N+1}}{m!\left(N + 1 - m\right)!}\sum_{n=0}^{\!\!\!\!\!N+1-m\!\!\!\!\!}\mathinner{{}_{N+1-m}\mathrm C_n} \left(-1\right)^{N+1-m-n} 2^n \\ &= N!\sum_{n=0}^{\!N+1\!}\frac1{\left(N + 1 - n\right)!}\left(\sum_{m=0}^{N+1-n}\mathopen{}\left(-1\right)^{N+1-n-m}\mathinner{{}_{N+1-n}\mathrm C_m} m^{N+1}\right)\frac{2^n}{n!} \\ &= N!\sum_{n=0}^{\!N+1\!}S\mathopen{}\left(N + 1, N + 1 - n\right)\frac{2^n}{n!} \end{aligned}$$ より，$n \ge 1$ で $n!$ は $2$ で割り切れる最大の回数が $n - 1$ 以下であることと合わせて，求める回数は，$N!$ が $2$ で割り切れる最大の回数 $\mathbf{2013}$ に等しいことが分かる．