NF杯2024(L) - LTEの補題による評価

　乗法群の構造を調べなくても，LTEの補題をメインに用いて最大の値を調べられることを見る．

$f(n) = (n^{2024} - 1)n^{11}$ とおき，素数 $p$ に対して $$e_p = \min_{n\in \mathbb{Z}} v_p(f(n))$$ とおく（ただし $v_p(0) = \infty$ とみなす）．すべての整数 $n$ で $\frac{f(n)}{m}$ が整数であることは $v_p(m) \leqq e_p$ がすべての素数 $p$ で成り立つことと同値であるから， $$\prod_{p:\text{prime}} p^{e_p}$$ が答えになると予想される（この時点では無限積に見えるが，後でほとんどの $p$ で$e_{p}=0$ とわかる）．

$2024$ を $p-1$ で割った余りを $r_p$ とするとき，$p$で割れない整数 $n$ について $n^{2024}\equiv n^{r_p}$ であるから，もし $r_p \neq 0$ なら $n \bmod{p}$ として原始根を取ることで $n^{2024}\not\equiv 1$ かつ $n\not\equiv 0\pmod{p}$ であるようにできるので $e_p = 0$ である．逆に $r_p = 0$ の場合，すべての $n$ で $n^{2024}\equiv 1\pmod{p}$ または $n^{11}\equiv 0$ だから，$e_p \geqq 1$である．

　よって，$r_p = 0$ であるような部分のみを考え $P = \{ 2, 3,5, 23, 47, 89, 1013\}$ とおくことで $$M = \prod_{p\in P}p^{e_p}$$ が答えである．そこで，$e_p$ ($p\in P$) を求める．

　$n$ が $p$ の倍数のとき $v_p(f(n)) \geq 11$ なので $e_p \leq 11$．次に $p\neq 2$ とし， $n = p+1$ のときを考えると， $$\begin{aligned} v_p(f(p+1)) &= v_p((p+1)^{2024} - 1) \\ &= v_{p}(p) + v_p(2024) \\ &= \begin{cases} 1 & (p\neq 23) \\ 2 & (p=23) \end{cases} \end{aligned}$$ を得るので，$p\neq 2,23$ に対して $e_p \leq 1$, したがって $e_p = 1$ を得る．さらに $p=23$ のときは，任意の $23$で割れない $n$ に対して，$2024 = 22\cdot 92$ より $$v_{23}(n^{2024} - 1) = v_{23}(n^{22} - 1) + v_{23}(92) \geq 1 + 1 = 2$$ なので $e_{23} \geq 2$, したがって $e_{23} = 2$ を得る．

　最後に $e_2$ については，$p=2$ でのLTEの補題を用いる．その主張は，任意の奇数 $x,y$ と 偶数 $N$ について， $$v_2(x^N - y^N) = v_2(x^2 - y^2) + v_2(N) - 1$$ が成り立つというものである．これにより，奇数 $n$ に対して $$v_2(f(n)) = v_2(n^{2024} - 1) = v_2(n^2 - 1) + v_2(2024) - 1 = v_2(n^2 - 1) + 2$$ となるが，一般に奇数 $n$ に対して $n^2 \equiv 1 \pmod{8}$ なので $v_2(f(n)) \geq 5$ であり，$n=3$ とすれば $v_2(3^2 - 1) = 3$ だから 等号は実現する．よって $e_2 = 5$ である．

よって $M = 2^5\cdot 23^2 \cdot 3\cdot 5\cdot 47\cdot 89\cdot 1013$ が解答するべき値．