NF杯2024(L)

　$f(n)=(n^{2024}-1)n^{11}$ とし，答えを $M$ とします．

素数 $p$ について， 任意の整数 $n$ に対して $f(n)$ が$p$ で割り切れるための必要十分条件は，任意の $p$ で割り切れない整数 $n$ に対して $n^{2024}-1$ が $p$ の倍数となることです．

$n$ が $\mathrm{mod} ~ p$ における原始根でも成り立っている必要があるため， $p-1$ が $2024$ の約数であることが必要です．

逆に $p-1$ が $2024$ の約数であるならば， $M$ は $p$ の倍数になります

$p=2$ のときに， $n^{a-b}-1$ と $n^b$ は互いに素なので, $m\geq 2$ に対して，

$2^m \mid f(n)$ であることの必要十分条件は，$2^m$ が $n^{11}$ の約数であるか， $n^{2024}-1$ が $2^m$ の約数であることです．

$2^m \mid M$ であるためには， $m\leq 11$ かつ任意の奇数 $n$ に対して $n^{2024} \bmod{2^m} = 1$であることが必要十分です．

$(\mathbb{Z}/ 2^m \mathbb{Z})^{\times}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2^{m-2}\mathbb{Z}$ であるため， $2^{m-2}$ が $2024$ の約数であることが必要です．

よって， $m\leq 5$ のときに $2^m \mid M$ となります．

$p\geq 3$ かつ $m\geq 2$ のとき，

$p^m \mid M$ であるためには，任意の整数 $n$ に対して $p^m \mid n^{11}$ かつ $p^m \mid (n^{2024}-1)$ であることが必要十分条件です

これは， $11\geq m$かつ， 任意の $p$ と互いに素な整数 $n$ に対して $n^{2024}\bmod{p}=1$ でることが必要十分です．

これは，$(\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z})^{\times} \cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p^{m-1}\mathbb{Z}$ であることから， $11\geq m$ かつ $(p-1)p^{m-1} \mid 2024$ となります．

以上を整理します

$2024=2^3\times 11\times 23$ の正の約数は $1,2,4,8, 11,22,44,88 ,23,46,92,184, 253, 506, 1012,2024$ の16個であり，$M$の素因数を列挙すると $2,3,5,23,89,47,1013$ となります．

さらに，$M$ は $2$ でちょうど $5$ 回割り切れて，$23$ については，$(23-1)\cdot 23^{2-1} \mid 2024$ であるため，$M$ は $23$ で $2$ 回割り切れます． それ以外の素因数ではちょうど $1$ 回のみ割り切れます．

よって，

$$M=2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 23^2\cdot 47\cdot 89\cdot 1013=\bm{1075955275680}$$

となります．