NF杯2024(I) - a,bのより簡潔な構成

　$n=3,n=2^k$ が条件を満たさないことは本解同様．
　$n$ が $5$ 以上の奇数のとき，$a=\frac{n-1}{2}-1, \ b=\frac{n+1}{2}$ が条件を満たす．
　$n=m\cdot 2^k$ と $3$ 以上の奇数 $m$ および 正整数 $k$ を用いて表されるとする．このとき

$$a=\frac{n}{2}+\frac{m-1}{2}-2^k,\hspace{3mm} b=\frac{n}{2}+\frac{m-1}{2}+2^k$$

とおくと

$$S_b-S_a=\frac{1}{2}(b-a)(a+b+1)=2^k(m+n)=(2^k+1)n$$

となるので，$1\leq a,b\leq n-1$ ならば $n$ は条件を満たす．
　まず $\frac{n}{2}=\frac{m}{2}\cdot 2^k\gt 2^k$ より $a\gt 0$．また $b$ に関して，

$$\frac{2b}{n}=\frac{(m+2)(2^k+1)-3}{m\cdot 2^k}\lt \left(1+\frac{2}{m}\right)\left(1+\frac{1}{2^k}\right)$$

であり，$1+\frac{1}{2^k}\leq \frac{3}{2}$ より

$$\left(1+\frac{2}{m}\right)\left(1+\frac{1}{2^k}\right)\geq 2\Longleftrightarrow (m,k)=(3,1), (3,2), (5,1)$$

このうち $(m,k)=(3,2)\ (\Leftrightarrow n=12)$ のときは $b=11\lt n$，$(m,k)=(5,1)\ (\Leftrightarrow n=10)$ のときは $b=9\lt n$ となって条件を満たす．最後に $(m,k)=(3,1)$，つまり $n=6$ のときは $(a,b)=(2,5)$ と取り直すとこれは条件を満たす．以上より $3, 2^k$ 以外の全ての正整数は条件を満たす．

　非自明な構成に見えるかもしれないが，直感的には $\frac{m\pm 1}{2}$ を中心として「足し合わせて $m$ となるペア」を $2^k$ 組作っているだけである．ただしそのままでは大きい $k$ に対して $a\lt 0$ となってしまうので，全てに $\frac{n}{2}$ を加えてほとんどの場合で $a,b$ が $1$ 以上 $n-1$ 以下となるようにした．