NF杯2024(F)

　$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ および $T_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} S_{k}$ とする．$\{a_{n}\}$ の漸化式は $$a_{n+1} =\frac{n^{3}+4n^{2}+6n+3}{n^{2}+n+1}a_{n} =\frac{(n+1)(n^{2}+3n+3)}{n^{2}+n+1}a_{n}$$ より，これを変形して $$\frac{1}{(n+1)^2 + (n+1) + 1} \cdot \frac{a_{n+1}}{(n+1)!} = \frac{1}{n^{2}+n+1} \cdot \frac{a_n}{n!}$$ を得るから，この値は $n$ によらず一定で， $$\frac{1}{1^{2}+1+1} \cdot \frac{a_1}{1!} = 1$$ に等しい．したがって一般項 $$a_{n}=(n^2+n+1)\cdot n!$$ を得る．これは $$a_n = (n+1) \cdot (n+1)!-n\cdot n!$$ と変形できるため，$S_{n}=(n+1) \cdot (n+1)!-1$ である．さらに，これは $$S_n = (n+2)!-(n+1)!-1$$ と変形できるため，$T = 2026! - 2026$ を得る．$2026!$ は 末尾に $0$ が $505$ 個並ぶ整数であり，そこから $2026$ を引くと，下 $4$ 桁は $7974$ になり，下 $5$ 桁目から $100$ 桁目までは $9$ が並ぶ．したがって，$T$ の下 $100$ 桁は

$$\underbrace{99 \cdots 99}_{96\text{個}} 7974$$

となり，この範囲の各位の和は

$$9 \cdot 96 + 7 + 9 + 7 + 4 = \mathbf{891}$$

と計算される．