NF杯2024(O)

　$N=101$ とおく．以下単に三角形といえば， $P$ に属する $3$ 点からなる三角形のことを指すものとする．$O$ を内部に含むような三角形全体の集合を $X_3$ とし，$P$ に属する $4$ 点の組であって，その凸包が $O$ を含むようなもの全体の集合を $X_4$ とする．また，$X_3$ に属する三角形と $P$ に属する $1$ 点の組であって，選んだ $1$ 点が三角形の頂点でないようなもの全体の集合を $Y$ とする．このとき, $|Y|=(2N-3)|X_3|$ が成り立つことが容易に分かる．$X_4$ に属する $4$ 点の組 $Q$ をとるとき，$Q$ の中から $X_3$ に属するような三角形を選ぶ方法はちょうど $2$ 通りである．よって，$Q$ を $X_3$ に属するような三角形と残りの $1$ 点の組ととらえることで，$Y$ の元がちょうど $2$ 個得られる．逆に，$Y$ の元を $4$ 点の組と捉えることで $X_4$ の元がちょうど $1$ つ得られる．したがって，$|Y|=2|X_4|$ が成り立つから，$$|X_4|=\dfrac{2N-3}{2}|X_3|$$ を得る．ここで, $$R_n=\biggl(\cos\Bigl(\dfrac{2n\pi}{N}\biggr), \sin\biggl(\dfrac{2n\pi}{N}\Bigr)\biggr)$$ とおき，正 $N$ 角形の頂点集合 $R$ を，$R=\{R_1, R_2, \ldots, R_N\}$ で定める．$R$ の $3$ 点の組であって， その $3$ 点からなる三角形が $O$ を内部に含むようなもの全体の集合を $Z_3$ とする．$Z_3$ の元 $(R_i, R_j, R_k)$ をとるとき，半直線 $OR_i, OR_j, OR_k$ 上それぞれに $P$ に属する点はちょうど $2$ 個存在する．このことから，$P$ の $3$ 点の組 $(A, B, C)$ であって，$A, B, C$ がそれぞれ半直線 $OR_i, OR_j, OR_k$ 上にあるようなものはちょうど $8$ 組存在し，$(R_i, R_j, R_k)$ が $Z_3$ の元であることから，この $8$ 個の組はすべて $X_3$ に属する．逆に $X_3$ に属する $3$ 点の組 $(A, B, C)$ からは，半直線 $OA, OB, OC$ 上の $R$ の点 $R_i, R_j, R_k$ をそれぞれとることにより，$Z_3$ の元が一意に定まるから，$|X_3|=8|Z_3|$ が成り立つ．
　以上より，求める $|X_4|$ について， $$|X_4|=\dfrac{2N-3}{2}|X_3|=4(2N-4)|Z_3|$$ が成り立つから，$|Z_3|$ を求めればよい．$R$ の $3$ 点の組 $(R_i, R_j, R_k)$ であって，その $3$ 点からなる三角形が $O$ を内部に含まないものをとる．このとき，三角形 $R_iR_jR_k$ は鈍角三角形であるから，角 $R_j$ が鈍角であるとし，また，$R_i, R_j, R_k$ はこの順に時計回りに並んでいるとする．$R_i$ の選び方は $R$ から $1$ 点選べば良いから $N$ 通りある．$R_j, R_k$ は $R$ の点のうち，点 $O$ から点 $R_i$ を見たときに直線 $R_iO$ の右側にある $\frac{N-1}{2}$ 点から選べばよいから，${}_\frac{N-1}{2}{\rm C}_2$ 通りある．以上より，$R$ の $3$ 点の組であって，その $3$ 点からなる三角形が $O$ を内部に含まないものは $$N\cdot {}_\frac{N-1}{2}{\rm C}_2=\dfrac{N(N-1)(N-3)}{8}$$ 個あるから， $$|Z_3|={}_N{\rm C}_3-\dfrac{N(N-1)(N-3)}{8}= \dfrac{N(N-1)(N+1)}{24}$$ であり， $$|X_4|=4(2N-3)\cdot \dfrac{N(N-1)(N+1)}{24}=\dfrac{N(N-1)(N+1)(2N-3)}{6}$$ である．$N=101$ を代入することで，解答すべき値は $\mathbf{34168300}$ であると分かる．