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NF杯2024

NF杯2024(E) - 漸化式を立てずに数え上げ

ユーザー解説 by kzy33550336

　公式解説にあるように，1≤i≤101\leq i\leq 10 なる整数 ii に対し，yi∈{0,1,2,3,4}y_i\in\{0,1,2,3,4\} となる組 (y1,y2,…,y10)(y_1,y_2,\ldots,y_{10}) であって yi∈{1,3}y_i\in\{1,3\} となる ii が偶数個存在するようなものの個数を求めればよい．特に，yi∈{1,3}y_i\in\{1,3\} となる ii が kk 個存在するような組 (y1,y2,…,y10)(y_1,y_2,\ldots,y_{10}) の個数は 10Ck2k310−k{}_{10}\mathrm{C}_k2^k3^{10-k} 個であるので，求める個数は，二項定理より，

∑k=1510C2k22k310−2k=(2+3)10+(2−3)102=510+12\begin{aligned} \sum_{k=1}^5{}_{10}\mathrm{C}_{2k}2^{2k}3^{10-2k}&=\frac{(2+3)^{10}+(2-3)^{10}}{2}=\frac{5^{10}+1}{2} \end{aligned}