NF杯2024(E)

　$S=x_1+x_2+\cdots+x_{10}$ とすると，条件より $i=1,2,\cdots,10$ に対して $S$ と $S-2x_i$ はともに整数であるから，$2x_i$ は整数であり，ある $y_i \in \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$ によって $x_i=\dfrac{y_i}{2}$ とおける．このとき $S$ が整数であれば $$\pm x_1 \pm x_2 \pm x_3 \pm \cdots \pm x_{10}$$ という形で表される実数はすべて整数となるので，条件は $y_i$ が奇数となるような $i$ が偶数個存在することである．
　一般に $n$ を正整数として，任意の $1\leq i\leq n$ に対して $y_i \in \{0,1,2,3,4\}$ を満たし，$y_i \in \{1, 3\}$ なる $i$ が偶数個存在するような $(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ の個数を $a_n$ 個とすると，漸化式 $$a_{n+1}=3 a_n+2 \cdot (5^n-a_n)=a_n+2 \cdot 5^n$$ を得る．これと $a_1 = 3$ から $a_n=\dfrac{5^n+1}{2}$ が得られ，特に解答すべき値は $a_{10}=\dfrac{5^{10}+1}{2}=\mathbf{4882813}$ である．