NF杯2024(G)

　$3$ 交点を通る円を $C$ として，その方程式を $x^2+y^2+ax+by+c=0$ とする．$2$ 曲線の交点を $(\alpha_1,\alpha_1^2),(\alpha_2,\alpha_2^2),(\alpha_3,\alpha_3^2)$ とする．$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ は次の $3$ 次方程式の $3$ 解である． $$x^3-x^2-\frac{17}{12}x+\frac{7}{22}=0$$ 点 $(\alpha_1,\alpha_1^2),(\alpha_2,\alpha_2^2),(\alpha_3,\alpha_3^2)$ は $C$ 上にあるので，$x=\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ に対して次が成り立つ． $$\begin{aligned} 0&=x^4+(b+1)x^2+ax+c\\ &=\bigg(x^3-x^2-\frac{17}{12}x+\frac{7}{22}\bigg)(x+1)+\bigg(b+\frac{41}{12}\bigg)x^2+\bigg(a+\frac{145}{132}\bigg)x+\bigg(c-\frac{7}{22}\bigg)\\ &=\bigg(b+\frac{41}{12}\bigg)x^2+\bigg(a+\frac{145}{132}\bigg)x+\bigg(c-\frac{7}{22}\bigg) \end{aligned}$$ したがって $(a,b,c)=\bigg(-\dfrac{145}{132},-\dfrac{41}{12},\dfrac{7}{22}\bigg)$ を得るので，$C$ の半径は $$\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}=\sqrt{\frac{101125}{34848}}$$ である．特に解答すべき値は $\bf135973$ ．