NF杯2023(D)

点数: 100

Writer: Lim_Rim_

　正の整数の組 $(a,b,c,d)$ であって，次の $2$ つの条件をともにみたすものの個数を求めてください．

• $a+b+c= 30!$ である．
• $AB=c, ~ BC=a, ~ CA = b$ なる（非退化な）三角形 $ABC$ が存在し，かつその三角形の内部（周上を除く）を任意に動く点 $X$ に対し，$A, B, C$ のそれぞれと $X$ とを結んだ直線と各対辺との交点をそれぞれ $P, Q, R$ とするとき，次の実数は $X$ が三角形 $ABC$ の内心であるとき，またそのときに限り最小値をとる： $$\dfrac{AR}{RB} + 2d\cdot \dfrac{BP}{PC} + 4d^2\cdot \dfrac{CQ}{QA}$$