NF杯2023(G) - 解説（Lim_Rim_の代理投稿）

この解説は Lim_Rim_ が書いたものを代理投稿したものです.

公式解答の序盤に現れた $$\mathrm{ord}_{2} (F_{6m}) = {\rm ord}_{2}(m) + 3$$ $${\rm ord}_{3}(F_{4m}) = {\rm ord}_{3}(m) + 1$$ は，「代数体上のLTEの補題」から得ることもできる（参考: https://mathlog.info/articles/886 ）．

　$K$を代数体，$\mathfrak{p}$をその整数環 $\mathcal{O}_{K}$の極大イデアル，$p$ を 剰余体 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$の標数，$e$を$\mathfrak{p}/p\mathbb{Z}$の分岐指数，すなわち $p(\mathcal{O}_K)_\mathfrak{p} = \mathfrak{p}^{e}(\mathcal{O}_K)_\mathfrak{p}$を満たす正の整数$e$とする．

$v: K\to \mathbb{Z}\cup \{\infty \}$ を$\mathfrak{p}$進付値とする．$v(p)=e$である.

定理. $x,y \in K$ が $v(x) = 0, v(y) = 0, v(x-y) \gt \frac{e}{p-1}$を満たすとき，$n$ を任意の整数とすると $$v(x^n - y^n) = v(x-y) + v(n)$$ が成立する．

　本問では，$K = \mathbb{Q}(\sqrt{5})$，$\mathfrak{p} = p\mathcal{O}_K$ で定理を適用する．なお，$p$ は不分岐 ($e=1$) であり，$p\mathcal{O}_K$ は 極大イデアルとなることに注意せよ．

　$p=2, 3$ に対して，$K$ 上の $p$進付値も${\rm ord}_{p}$で表す．$\alpha = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\beta = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$として $x=\alpha^{6}$, $y=\beta^{6}$ とする．$x-y= 8\sqrt{5}$ だから${\rm ord}_{2}(x-y) = 3 \gt \frac{1}{2-1}$ であり，定理が適用できて， $$\begin{aligned} {\rm ord}_{2}(F_{6m}) &= {\rm ord}_{2}\left( \alpha^{6m} - \beta^{6m} \right) - {\rm ord}_{2}(\alpha^6 - \beta^6) + {\rm ord}_{2}\left( \dfrac{\alpha^{6} - \beta^{6}}{\sqrt{5}} \right) \\ & \overset{\text{LTE}}{=} {\rm ord}_{2} (m) + {\rm ord}_{2}\left( 8 \right) \\ & = {\rm ord}_{2} (m) + 3 \end{aligned}$$ を得る．

　${\rm ord}_{3}(F_{4m}) = {\rm ord}_{3}(m) + 1$ についても，$x = \alpha^4$, $y=\beta^4$として定理を適用すれば得られる．(${\rm ord}_{3}(x-y) = {\rm ord}_{3}(3\sqrt{5}) = 1 \gt \frac{1}{3-1}$なので適用可能)．