NF杯2023
NF杯2023(K)
条件よりは全射,ゆえに全単射である.
に対し, を満たす最小の正の整数 がある.これを の周期と呼ぶことにする.条件より周期 は の約数である. ここで非負整数 に対し,単射性から なので,の周期もまた となる.とし, とおくと, かつ の周期は なので,周期の最小性から が の倍数でなければならない. なので, から までの整数の中に の倍数が 個以上あることになる.よって が従うから,でなければならない.これらと を考慮することで,特に次が分かる:
- が と互いに素である場合( ),,すなわち でなければならない.よって は 元集合 の置換で決まる.
- が の倍数でない場合 ( ),.
- が 偶数でない場合 ( ),.
- の場合, は のどの可能性もある.
以降, に対して は のによる軌道,すなわち集合 を表すとする. の長さ (元の個数) は であり,集合 は () のいくつかで分割される. この分割の可能性について考察する.
まず, の分割に長さ の軌道は高々 つしか含まれない.実際,長さ の軌道に含まれる数は の倍数でなければならず,集合 に 含まれる の倍数は 個未満であるからである.同様の議論で, に属す 偶数は 個なので,長さ の軌道は 個以下である.
長さ の軌道の数をそれぞれ として, に関して場合分けすると以下のようになる.
のとき,すべてが固定点なので 個.
のとき,長さ の軌道に入るべき数は の 個なので 個.
のとき,長さ の軌道に入るべき数は の4個であり,円順列を考えることで 個.
のとき, から 4 つ選んで 2 つずつに分ける方法を考え,個.
のとき,長さの軌道をそれぞれ とする. には か の少なくとも一方が入っており,以下の3ケースに分けて考えることで,個のを得る.
(Case 1.1.) のとき, としてありうるのは と () の4パターンである. は から2つの数字を選んで構成すればよいので, パターンがある. よって24個の を得る.
(Case 1.2.) かつ のとき,は か の2個. は から2つの数字を選んで構成すればよいので 個.よって20個のを得る.
(Case 1.3.) かつ のときも Case 1.2. と同様に同様に 20個.
のとき,長さ2の軌道3つを から作る方法の個数だけが得られるので,個.
のとき,以下のように個のを得る.唯一の長さ3の軌道をとする.
(Case 2.1.) のとき,Case 1.1と同様に 4通りの がある.長さ2の軌道2つの分け方は を二つに分ける方法だけあるので 通り.よって12個のを得る.
(Case 2.2.) の場合,は2通り( Case 1.2 と同様). 長さ2の軌道2つは を二つに分ける方法だけあるので, 個. よって30個の を得る.
(Case 2.3.) の場合,**Case 2.2.**と同様に30個得られる.
以上より,求める の個数は
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