NF杯2023(H)

　まず，次を示す．

補題．$m$，$k$ を自然数で $1\leq k\leq m$ を満たすとする．このとき $$f^{2}(m^2 + k) = (m+1)^2 + k.$$

(証明)　$m \lt \sqrt{m^2 + k} \leq \sqrt{m^2 + m} \lt m+\frac{1}{2}$ なので, $$\begin{aligned} f(m^2 + k) & = m^2 + k + \lfloor\sqrt{m^2 + k} + \frac{1}{2}\rfloor \\ & = m^2 + m + k. \end{aligned}$$

また, $m+\frac{1}{2} \lt \sqrt{m^2 + m + k} \lt m+1$なので $$f(m^2 + m + k) = m^2 + m + k + (m+1) = (m+1)^2 + k.$$

　求める和は $$\sum_{n=1}^{10} f^{100}(n^2) + \sum_{n=1}^{9}\sum_{k=1}^{n} \left( f^{100}(n^2 + k) + f^{100}(n^2 + n + k)\right)$$ である．補題を使って，それぞれの総和を調べる． 　まず $$\begin{aligned} f^{100}(n^2) & = f^{99}(n^2 + n) \\ &= f((n+49)^2 + n) \\ &= (n+49)^2 + 2n+49 \\ &= n^2 + 100n + 2450 \end{aligned}$$ より， $$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{10} f^{100}(n^2) &= 3550 + \sum_{n=1}^{9} (n^2 + 100n + 2450) \end{aligned}$$ 　次に $$f^{100}(n^2 + k) = (n+50)^2 + k$$

$$\begin{aligned} f^{100}(n^2 + n + k) &= f^{99}((n+1)^2 + k) \\ &= f((n+50)^2 + k) \\ & = (n+50)^2 + n + 50 + k \end{aligned}$$ より， $$\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{n}\left(f^{100}(n^2 + k) + f^{100}(n^2 + n + k)\right) \\ &= \sum_{k=1}^{n} \left( 2(n+50)^2 + n + 50 + 2k\right) \\ &= 2n(n+50)^2 + n(n+50) + n(n+1) \\ &= 2n^3 + 202n^2 + 5051n \end{aligned}$$ 　以上の計算より，求める和は $$\begin{aligned} & 3550 + \sum_{n=1}^{9} (2n^3 + 203n^2 + 5151n + 2450) \\ &= 3550 + \dfrac{(9\cdot 10)^2}{2} + 203\cdot \frac{9\cdot 10\cdot 19}{6} + 5151\cdot \frac{9\cdot 10}{2} + 2450\cdot 9 \\ &= 3550 + 4050 + 57855 + 231795 + 22050 \\ &= \mathbf{319300} \end{aligned}$$