NF杯2023(C)

$a_i(i=0,\ldots,10)$が$0$または$1$の値をとり,かつ$a_{11}=1$であるとき,

$$g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{10}x^{10}+a_{11}x^{11}$$

について

$$(a_0+a_2+\cdots + a_{10})-(a_1+a_3+\cdots + a_{9}+1)=0$$

$$(a_0+a_2+\cdots + a_{10})-(a_1+a_3+\cdots + a_{9})=1$$

となるような場合の数を求める.これはFPS(形式的べき級数)で計算することができる.

つまり,

$$\left[x^{1}\right]\sum_{a_0\in\lbrace 0,1\rbrace}\sum_{a_1\in\lbrace 0,1\rbrace}\cdots \sum_{a_{10}\in\lbrace 0,1\rbrace} x^{(a_0+a_2+\cdots + a_{10})-(a_1+a_3+\cdots + a_{9})}$$

を求めればよいが,これは因数分解することができる.

つまり,

$$\left[x^{1}\right] (1+x)\cdot (1+x^{-1})\cdot (1+x)\cdot (1+x^{-1})\cdot \cdots \cdot (1+x)$$

であり,これは

$$\left[x^{1}\right] (1+x)^6(1+x^{-1})^5$$

全体を$x^5$で掛けると

$$\left[x^{6}\right] (1+x)^6(1+x)^5$$

つまり,

$$\left[x^{6}\right] (1+x)^{11}$$

となるため,答えは${}_{11}\mathrm{C}_{6}=462$である.