NF杯2023(C)

　$g(x)$ を，条件 $\rm(i),\rm(ii)$ を満たす $11$ 次以下の多項式とする．因数定理より $\rm(ii)$ は $g(-1)=0$ と同値である．

$$g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{11}x^{11}$$

とおく（$a_0,a_1,\cdots,a_{11}$ は $0$ または $1$)．

$$g(-1)=(a_0+a_2+\cdots+a_{10})-(a_1+a_3+\cdots+a_{11})$$

であるので，$a_i=0,1~(i=1,2,\cdots,11)$ かつ $g(-1)=0$ となるためには，$i=0,2,4,6,8,10$ のうち $a_i=1$ となるものの個数と，$i=1,3,5,7,9,11$ のうち $a_i=1$ となるものの個数が等しければよい．両者の個数が $k$ 個 ($1\leq k\leq 6$) になるような $a_i ~ (i=0,1,2,\ldots,11)$ の選び方は ${}_6\mathrm{C}_k\cdot {}_6\mathrm{C}_k=({}_6\mathrm{C}_k)^2$ 通りあるので，$g(x)$ の個数は，

$$\sum_{k=0}^6({}_6\mathrm{C}_k)^2={}_{12}\mathrm{C}_6=924.$$

また，$h(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{11}$ とおくと，任意の $g(x)$に対し，$h(x)-g(x)$ も $\rm(i)$，$\rm(ii)$を満たす$11$次以下の多項式になり，$g(x)$ と $h(x)-g(x)$ のうちちょうど一方が $11$ 次式である．よって，求めるべき $f(x)$ の個数は，$g(x)$ のうち $11$ 次であるものの個数であるので， $$\frac{924}{2}=\mathbf{462}.$$